Kalukulus - Kontinuitas

 Kekontinuan Fungsi

Salah satu topik yang berkaitan dengan konsep limit fungsi adalah kekontinuan fungsi atau kontinuitas fungsi. Suatu fungsi dapat kontinu atau tidak kontinu di suatu titik.

Definisi

Misalkan f adalah suatu fungsi riil.  f dikatakan kontinu di x = c apabila:

Catatan:
Fungsi riil adalah fungsi dengan daerah asal maupun daerah nilainya merupakan himpunan bagian dari ℝ.

Persyaratan

pada definisi di atas, teknis pembuktiannya mencakup tiga hal, yaitu
Pertama, limit tersebut ada. Artinya:

Kedua, f(c) terdefinisi
Ketiga, 

Apabila ada di antara ketiga hal ini yang tidak dipenuhi, maka kita simpulkan f tidak kontinu (=diskontinu) di x = c.

Contoh 1

Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Apakah f kontinu di x = 3?

Jawab:
Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3
Limit kiri:

Limit kanan:

Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.
Kita simpulkan

dan

Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3
Dari pendefinisian f, f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 2
Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya
Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa

Kesimpulan:  f tidak kontinu (atau diskontinu) di x = 3. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada gambar dibawah.

Contoh 2

Misalkan g suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

 

Apakah g kontinu di x = 0?

Jawab:
Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 0
Limit kiri:

Limit kanan:

Ternyata nilai limit kirinya tidak sama dengan limit kanannya, sehingga kita simpulkan:

tidak ada. Pada langkah ini juga, langsung simpulkan g tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 2.

Catatan:
Diskontinuitas di x = 0 pada Contoh 2 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat tak terhapuskan. Kita tidak dapat mendefinisikan kembali nilai g di x = 0 untuk membuat g kontinu di sana.

Contoh 3

Misalkan h suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Apakah h kontinu di x = 0?

Jawab:
Salah satu syarat agar h kontinu di x = 0 adalah h terdefinisi di x = 0. Namun pada contoh ini h(0) tidak terdefinisi. Jadi h tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 3.

Contoh 4

Misalkan k suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

Apakah k kontinu di x = -1?

Jawab:
Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = -1
Limit kiri:

Limit kanan:

Karena limit kiri sama dengan limit kanan, kita simpulkan:

dan

Langkah 2: Memeriksa apakah k terdefinisi di x = -1

Jadi, k terdefinisi di x = -1.
Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya
Dari kedua langkah sebelumnya, diperoleh bahwa:

Dengan melakukan tiga langkah tadi, ternyata ketiga syarat kontinuitas fungsi di suatu titik dipenuhi. Jadi, kita simpulkan kkontinu di x = -1. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 4.

Pada Gambar 4, tampak bahwa pada grafik fungsi kontinu tidak terdapat “lompatan” seperti grafik g (Gambar 2) atau grafik f (Gambar 1), tidak terdapat bagian yang “terputus” seperti grafik f (Gambar 1) atau grafik h (Gambar 3). Grafik fungsi k tampak “bersambung/berkesinambungan” tanpa ada celah atau lompatan. Definisi yang diberikan di bagian awal post ini merupakan perumusan formal matematis untuk menerangkan pengertian kesinambungan ini.

Link Rahasia

Demikian dan Semoga Bermanfaat :)