Kalkulus - Titik Kritis Turunan Fungsi

 

 Maksimum dan Minimum

Definisi :

Andaikan S daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

1. f( c ) adalah nilai maksimumf pada S jika f ( c ) f (x) untuk semua x di S.
2. f( c ) adalah nilai minimum pada S jika f( c ) f(x) untuk semua x di S.
3. f( c ) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia nilai maksimum atau nilai minimum

Teorema A

(Teorema eksitensi Maks-Min). jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f ( c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

1. Titik ujung
2. Titik stasioner dari f’(x) = 0
3. Titik Singuler dari f’(x) tidak ada

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f (x)= 4x³+ 3x² – 6x +1 pada [2,1]..

Penyelesaian :

F’(x) = 12x²+6x-6

Untuk f’(x) =0, maka:

12x²+6x-6 = 0

2x²+x-1 = 0… (di perkecil)

(2x²-1) (x+1)=0

X=1/2, x=-1

Kita dapatkan titik kritisnya yaitu : (-2, -1, ½, 1)

Sehingga :

F(-2) = -7

F(-1) = 6

F(1/2) = ¾

F(1) = 2

Jadi kita dapatkan:

Nilai maksimumnya pada f(-1) = 6

Nilai minimumnya pada f(-2) = -7

4.2 Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ) kita katakana bahwa :

1. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x₁ dan x₂ dalam I

x₁ < x₂  f (x₁) < f (x₂)

1. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x₁ dan x₂ dalam I

x₁ < x₂  f (x₁) > f (x₂)

1. f monoton murni pada I jika ia naik atau turun pada I

Teorema A

(Teorema Kemonotonan).Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I:

1. Jika f’ (x) >0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
2. Jika f’ (x) <0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Definisi :

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a, b). maka

jika f’ naik pada I, f ( dan grafiknya ) cekung ke   atas disana.

Jika f’ turun pada I,f cekung ke bawah pada I.

Teorema B

(Teorema Kecekungan). Andaikan f terdiferensial 2x pada selang terbuka (a, b)

1. Jika f” (x) >0 untuk semua x dalam (a, b), maka f cekung ke atas pada (a, b).
2. Jika f” (x) <0 untuk semua x dalam (a, b),maka f cekung ke bawah pada (a, b)

Contoh :

Jika f (x) = 2x³ + 9x² -13. tentukanlah dimana f naik dan dimana f turun ?

Penyselesaian:

F’(x) = 6x² + 18x = 6x (x +3)

Kita perlu menentukan dimana

x (x + 3) > 0 dan x (x+3) < 0

x= 0, x = -3 > 0 x=0, x=-3 <0

Kita peroleh titik-titiknya : (-,-3), (-3, 0) dan (0, )

Maka f naik pada titik (-,-3] dan [0,)

Dan f turun pada titik [-3,0]

4.3 Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :

Andaikan S daerah asal f memuat titik c,kita katakan bahwa :

1. F( c )nilai maksimim lokalmf, jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai maksimum f pada (a, b)  S
2. F( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a, b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c ) adalah nilai minimum f pada (a, b)  S
3. f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum atau minimum lokal.

Teorema A

(Uji Turunan Pertama Untuk Ekstrim Lokal).Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c,:

1. Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f (c) adalah nilai maksimum lokal.
2. Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f’( c ) adalah nilai minimum lokal.
3. Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f’( c ) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang memuat c,dan andaikan f( c )= 0

1. Jika f”( c )< 0, f( c ) adalah nilai maksimum lokal f.
2. Jika f”( c ) > 0, f( c ) adalah nilai minimum lokal f.

Contoh :

Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = x²-4x+1 pada [-∞, ∞]..

Penyelesaian :

f’(x) = 2x-4, ada untuk semua x, jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) = 0 yaitu x = 2,

sehingga :

f‘(x) = 2 (x – 2) < 0 untuk x < 2, f turun pada (-∞, 2]

f’(x) = 2 (x- 2) > 0 untuk x > 2, f naik pada [2,∞).

4.4  Lebih Banyak Masalah Maks-Min

Pada bahasan awal kita hanya mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi pada selang tertutup saja,padahal masih ada fungsi terbuka,setengah buka,atau setengah tertutup yang membutuhkan penyelesaian. Kita bisa menyelesaikan hal ini dengan menerapkan teori secara benar.

Langkah-langkah dalam menerapkan masalah Maks-Min adalah sebagai berikut :

1. buat sebuah gambar untuk masalah dan berkan variable-variabel yang sesuai untuk besaranpbesaran kunci.
2. Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminmumkan ) dalam bentuk variable-variabel tersebut.
3. Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghlangkan semua kecuali satu dari variable-variabel ini dank arenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variable, misalnya x
4. Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang
5. Tentukan titik-titik kritis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular ). Paling sering, titik-titik kitis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0
6. Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberikan maksimum (minimum).

PENGGUNAAN KATA MARJINAL Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan untuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Jika fungsi biaya adalah seperti yang diperlihatkan pada gambar 1 maka nilai ΔC/ Δx pada saat Δx = 1 dan diharapkan nilai ini sangat dekat terhadap nilai

lim ΔC/ Δ

^Δx→0

Pada saat x = 2000. Ini disebut biaya marginal. Kita para matematikawan mengenalinya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x. Dengan nafas serupa, kita definisikan harga marginal sebagai dp/dx, pendapatan marginal sebagai dR/dx, dan keuntungan marginal sebagai dP/dx.

Gambar 1 

Contoh :

Petani Badu mempunyai 80 kaki kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari kandang persegi sepanjang satu sisi gudangnya sepanjang 100 kaki, seperti di perlihatkan pada gambar II (sisi sepanjang gudang tidak memerlukan kawat duri ). Berapa ukuran kandang yang mempunyai nilai maksimum?

Penyelesaian :

Andaikan x = lebar, y = panjang

Maka : 2x + y = 80

y = 80 – 2x

Luas total A adalah:

A = xy = 80x – 2x²

Kita dapatkan 0 ≤ x ≤ 40, jadi masalah kita adalah memaksimimkan A pada [0, 40 ]

Untuk mencari x, f’(x) = 0

F’(x) = 80-4x

80-4x = 0

x = 20

Jadi terdapat 3 titik kritis ( 0, 20,dan 40 )

sehingga kita masukan titik kritis tersebut pada y = 80- 2x,

x = 0  y = 80

x = 20  y = 0

x = 40  y = 40

karena luas adalah A = xy, maka :

x = 0  A = 0

x = 20  A = 0

x = 40  A = 800

Jadi luas maksimumnya adalah 800 kaki, dengan x = 40 dan y = 20.

4.5  Penerapan Ekonomi

Turunan dapat diterapkan dalam bidang ekonomi misalnya sebuah perusahaan khas, PT ABC. Untuk memudahkan anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang, mungkin berupa televisi, aki kendaraan, atau sabun dalam peti. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x karena bilamana ABC memperbesar keluarannya, kemunginan ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x), banyak satuan kali harga tiap satuan. Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total, C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dan sebagainya) ditambah biaya variabel, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya.

P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)

Contoh :

Dalam memproduksi dan menjual x satuan komoditi tertentu, fungsi harga P dan fungsi biaya C (dalam ribuan rupiah ) di berikan oleh :

P(x) = 3,00 – 0,001x

C(x) = 2,00 + 1,20x

Carilah pendapatan marjinal, biaya marjinal, dan kauntungan marjinal. Serta tentukan tingkat pruduksi yang akan menghasilkan keuntungan total maksimum ?

Penyelesaian :

R(x) = x.p(x) = 3,00x – 0,001×2

P(x) = R(x) – C(x) = -2,00 + 1,80x – 0,001×2

Sehingga :

Pendapatan marjinal  :  dR/dx = 3 – 0,002x

Biaya marjinal               :   dC/dx = 1,2

Laba marjinal                : dP/dx = dR/dx – dC/dx             = 1,8 – 0,002x

Untk memaksimumkan laba,kita tetapkan dP/dx = 0 dan selesaikan. Ini mamberikan x = 900 sebagai satu-satunya bilangan kritis yang di tinjau. Laba maksimum nya adalah P(900) = Rp. 808,00

<!– @page { margin: 2cm } P { margin-bottom: 0.21cm } –>

4.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

DEFINISI – DEFINISI CERMAT LIMIT BILA(x→+∞) Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit –limit biasa, kita membuat definisi berikut.

Anda akan perhatikan bahwa M dapat bergantung pada ε, umumnya semakin kecil ε, maka M harus semakin besar (lihat gambar 1).

Definisi 1

( Limit bila x→+∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim fx)=L

x→+∞

Jika masing-masing ε > 0 terdapat bilangan Myang berpadanan sedemikian sehingga

x > M → │ f(x) – L │< ε

Definisi 2

( Limit bila x→-∞ ). Andaikan f terdefinisi pada (-∞, c] untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa lim fx)=L

x→-∞

jika untuk masing-masing ε >0 terdapat suatu bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga

x < M →│ f(x) – L │< ε

Definisi 3

( Limit-limit tak-terhingga ). Kita katakan bahwa lim fx) = ∞

x→-∞

Jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu δ > 0 sedemikian sehingga

0 < x -c < δ → f(x) > M

HUBUNGAN TERHADAP AMSITOTAmsitot-amsitot dibahas secara ringkas dalam Pasal 2.1, tetapi sekarang kita dapat mengatakan lebih banyak tentang mereka. Garis x = c adalah amsitot vertikal dari grafik y = f(x) jika salah satu dari pernyataan – pernyataan berikut benar.

1. lim f x) = ∞

x→c⁺

2. lim f x) =- ∞

x→c⁺

3. lim f x) = ∞

x→c^–

4. lim f x) = –∞

x→c^–

Contoh :

Cari lim x + 2 / x2 – 4x +2

^x→1+

Penyelesaian :

lim x + 2 / x2 – 4x + 2 = lim x + 2 / (x – 3)(x – 1)

^{x→1+ x→1+}

Sehingga x 1+, kita lihat bahwa x + 2 3, x – 3  -2 dan x – 1 0

Jadi pembilang mendekat 3, tetapi penyebut adalah negative dan mendekati 0

Kita simpulkan bahwa:

lim x + 2 / (x – 3)(x – 1) = – ∞

^x→1+

4.7   Penggambaran Grafik Canggih

Penggambaran grafik canggih dapat digunakan untuk Fungsi Polinom, Fungsi Rasional dan Fungsi Aljabar.

Langkah 1 Buat analisis pendahuluan sebagai berikut

1. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan .
2. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil?)
3. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
4. Gunkan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafikmnaik dan turun
5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal
6. Gunkan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik
7. Cari amsitot-amsitot

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik)

Langkah 3 Sketsakan grafik.

Contoh:

<!– @page { margin: 2cm } P { margin-bottom: 0.21cm } –>

1. Sketsakan grafik dari f(x) = x³ – 3x² + 3x + 3

penyelesaian

f'(x) = 3x² – 6x + 3

= (3x – 3)(x – 1)

x = -1 dan x = 1

untuk selanjutnya

f”(x) = 6x – 6

= 6(x -1)

x = 1

Jadi f'(x) > 0 pada (-∞,1)  ( 1,∞), sehingga f'(x) tidak pernah nol. dan f”(x) > 0 pada (1,∞) dan f”(x) < 0 pada (-∞,1). sehingga terdapat satu titik balik (dicapai x = 1) dan f(1) = 2 adalah nilai maksimum dan f(-1) = – 10 adalah nilai minimum.

4.8 Teorema Nilai Rata – rata

Teorema A

(Teorema nilai rata-rata untuk turunan). Jika kontinu pada selang tertutup dan terdiferensial pada titik dalam dari maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a, b) dimana

f(b) – f(a)/b-a = f'( c )

Atau secara setara dimana

f(a) – f(a) = f’(c) (b – a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a, b) maka terdapat konstanta sedemikian sehingga

F( x ) = G(x) + C(x)

Untuk semua x dalam (a,b)

Contoh :

Carilah bilangan c yang memenuhi persamaan Teorema nilai rata-rata dari f(x) = x² – 3x – 1 ; [-3, 1]..

Penyelesaian :

F’(x) = 2x – 3

Dan

F(1) – f(-3) /1 – (-3) = 7/2

Karena itu kita harus menyelesaikan

2c – 3 = 7/2

2c = 7/2 + 3

c = 13/4

sumber: https://kulyawati.wordpress.com/2009/03/14/penggunaan-turunan/

Sekian, Semoga Bermanfaat :)