Kalkulus : Jenis - Jenis Bilangan

Kalkulus - Pada artikel kali ini saya akan sedikit membahas tentang materi Sistem Bilangan Real, sebenarnya materi "Sistem Bilangan Real" telah diajrakan waktu SMP, bahkan SD. Tetapi alangkah baiknya kita mengulang kembali supaya ingatan kita lebih tajam

Sistem matematika adalah himpunan unsur-unsur dengan operasi yang didefinisikan. Operasi yang kita kenal antara lain aljabar dan logaritma. Sedangkan himpunan dalam aljabar adalah himpunan-himpunan bilangan.

Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk memulainya kita mulai dengan beberapa sistem yang sederhana berikut ini.

 1. Sistem Bilangan Real

Berikut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real.
a. Himpunan bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan ℕ = {1, 2, 3, ...}. Bilangan asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.
b. Himpunan bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan denganℤ = {...,-2, -1, 0, 1, 2, ...}.
c. Himpunan bilangan rasional; misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan dengan ℚ.
d. Himpunan bilangan irasional; misalnya { 2,37,π, dsb}, merupakan bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk mn dengan m dan n bilangan bulat dan n ≠ 0.

Himpunan bilangan real sendiri dinotasikan dengan ℝ merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat digunakan untuk mengukur panjang, beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut, dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untuk titik-titik yang beradadi sepanjang sebuah garis bilangan. Di situ, bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0) .Walaupun mustahil untuk menampilkan seluruh label tersebut, tetapi setiap titik pada dasarnya mempunyai sebuah label bilangan real yang unik.
Bilangan yang dimaksud dinamakan koordinat dari titik tersebut dan garis koordinat yang dihasilkan disebut garis real.  

2. Operasi Pada Bilangan Real

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut:
a. Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian.
Hasil operasi a + b dan ab adalah bilangan bulat real.
b. Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian
a + b = b + a dan ac = ca.
c. Assossiatif terhadap penjumlahan dan perkalian
a + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)c.
d. Distributif
a(b + c) = ab + ac.
e. Memiliki elemen identitas (0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan, dan 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian).
a + 0 = 0 + a = a, dan 1a = a1 = a.
f. Memiliki invers
Terhadap penjumlahan; Untuk setiap a ∈ ℝ terdapat x ∈ ℝ sedemikian sehingga x + a = a + x = 0. Dalam hal ini x = -a. Jadi, invers dari bilangan real a terhadap operasi penjumlahan adalah –a. 

3. Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

     3.1 Pertidaksamaan

Jika a– b adalah bukan bilangan negatif, maka a lebih besar atau samadengan b, ditulis a≥ b, atau b lebih kecil dari atau sama dengan a, ditulis b ≤ a. Jika bilangan tersebut selain a = b, maka a > b atau b < a. Secara geometri, a > b jika koordinat a berada di sebelah kanan dari koordiat b.

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut:
a. Trikotomi
Tepat satu diantara yang berikut ini berlaku: a > b, a = b, atau a < b.
b. Transitif
Jika a > b dan b > c maka a > c.
c. Penambahan
Jika a > b maka a + c > b + c.
d. Perkalian
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut menjadi suatu pernyataan yang benar. Berbeda dengan persamaan yang himpunan penyelesaiannya umumnya terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah berhingga bilangan saja, himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan interval bilangan atau dalam beberapa kasus gabungan dari interval-interval yang demikian.

Pertidaksamaan a < x < b menunjukkan interval terbuka, dinotasikan dengan(a, b), yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b tidak termasuk a dan b. Sementara a ≤ x ≤ b menunjukkan interval tertutup, dinotasikan dengan [a,b], yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b termasuk a dan b itu sendiri.

    3.2 Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan real a, dinotasikan dengan |a|, berharga auntuk a > 0, -a untuk a < 0, dan 0 untuk a = 0.

Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak sama halnya dengan proses penambahan dan pengurangan. Perhatikan sifat-sifat nilai mutlak berikut:
a. |ab| = |a| |b|
b. |a + b| ≤ |a| + |b|
c. |a– b| ≥ ||a| – |b||
d. Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak:
|x| < a⇔ -a < x < a
|x| > a⇔ x < -a atau x > a

 

Demikianlah penjelasan dari materi Sistem Bilangan Real.

Semoga Bernamfaat.